스튜어트 정리 증명: 기하학적 선명함의 역설적 진화

스튜어트 정리 증명

스튜어트 정리는 삼각형 내의 한 선분과 그 선분이 교차하는 한 점에 대한 규칙을 제공합니다. 이는 즉, 삼각형 내의 한 선분에 대한 규칙을 찾는 것입니다.

스튜어트 정리는 우리가 어떤 삼각형 ABC에서, 한 변 BC에 대해 X 라는 한 점이 있다면, 다음과 같은 수식을 만족한다는 것을 말합니다.

AB^2 + AX*AC = XB*XC + BC^2

즉, 이 식은 삼각형 ABC에서, 두 개의 사변형 (ABX와 XBC)과 한 개의 삼각형 (ACX)에 대한 면적 관계를 나타내고 있습니다.

이 식의 유용성은 단순히 공부에 그치는 것이 아니라 다양한 분야에 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 공간속에서 두 개의 지점 사이를 가장 짧은 거리로 연결하는 직선을 그리는 문제를 해결할 수 있습니다.

하지만, 이 식이 어떻게 유도되는지에 대해서는 먼저 조건들을 확실히 이해해야합니다.

우선 삼각형 ABC 내의 한 지점 X를 선택합니다. 그리고 두 개의 삼각형 ACX와 ABX와 높이 XH와 XG를 그립니다. 이렇게 하면, BX 와 CX, 삼각형 ABC의 한 변 BC를 만족하는, 한 선분인 AH의 길이를 찾을 수 있습니다.

이제 스테이트먼트 ~1~ 가 성립합니다.

AH^2 = AX*AD

또한, 삼각형 ABX와 XBC를 사용하여, 스테이트먼트 ~2~ 를 유도할 수 있습니다.

XB*XC = XH*XD

따라서 스테이트먼트 ~3~ 을 유도할 수 있습니다.

AB^2 + AX*AC = XB*XC + BC^2

증명의 흐름을 살펴보면, 스테이트먼트 ~1~, ~2~, ~3~ 이 차례로 증명됩니다. 이를 통해 스테이트먼트 ~3~ 은 위치와 회전에 상관없이 모든 삼각형에서 성립함을 확인할 수 있습니다.

FAQ

Q: 스테이트먼트 1, 2, 3이 어떻게 증명되나요?
A: 스테이트먼트 ~1~ 은 삼각형 ABC의 높이 XH와 XG를 사용하여, 피타고라스의 정리를 적용하여 성립됩니다. 스테이트먼트 ~2~ 는 앞서 유도한 스테이트먼트 ~1~ 에서 얻은 XH의 관계를 사용하고, 삼각형 ABX와 XBC에 대한 높이 XT와 XU를 사용하여 스테이트먼트 ~2~ 를 유도합니다. 그리고 마지막으로, 스테이트먼트 ~2~ 를 이용하여 스테이트먼트 ~3~ 을 유도합니다.

Q: 스테이트먼트 ~3~ 을 이용하면 어떤 문제를 해결할 수 있나요?
A: 스테이트먼트 ~3~ 은 두 지점을 가장 짧은 거리 내에서 연결하는 문제를 해결하는 데에 사용할 수 있습니다. 이를 위해서는, 두 지점을 잇는 직선을 그리고, 그 직선이 이루는 삼각형 ABC를 구합니다. 그런 다음, 스테이트먼트 ~3~ 을 이용하여, 직선과 삼각형 ABC의 선분간의 길이를 구합니다. 이렇게 하면 두 지점을 가장 가까운 거리만큼 연결하는 직선을 찾을 수 있습니다.

메넬라우스 정리(Menelaus’ theorem)는 유클리드 기하학에서 중요한 정리 중 하나로, 삼각형 안에 삼각형 및 그 내부에서 만나는 세 개의 선분이 한짝의 선분은 다른 세 개의 선분의 비율과 같이 나뉘어지는 것을 보여줍니다. 이 정리는 후기 기하학자 프랑수아 라비메르(Francois Lavieme)와 크리스토퍼 클라비우스(Christoph Clavius)를 비롯하여 모습이 다르지만, 처음으로 언급된 것은 그리스 대사 장키라스(Chang Chi Ch’a)의 책에서 발견되었습니다. 이 정리는 대부분의 삼각형 기하학 분야에서 널리 사용되며, 다양한 문제들을 해결하는 데에도 사용됩니다.

메넬라우스 정리의 증명에 앞서, 먼저 세 개의 선분이 서로 교차하는 위치를 알아보는 것이 중요합니다. 예를 들어, ABC 삼각형에서 AD, BE, CF는 서로 교차하는 선분이라고 가정합니다. 그러면, 이때 세 개의 삼각형 ABD, BEC, CFA가 생성됩니다. 이 삼각형들은 모두 서로 유사한(fully similar) 세 개의 삼각형 AQD, BQE, CRF를 가지고 있습니다. 이때, 모든 선분에서 교차하는 가장 바깥쪽 교점은 삼각형의 정점에 위치하며, 이 교점을 P라고 합니다.

이제 메넬라우스 정리를 증명하는데 필요한 준비가 끝났습니다. 이 정리는 선분 AD, BE, CF의 비와 이 선분들이 만드는 세 개의 삼각형 ABD, BEC, CFA의 내부 선분의 비가 같음을 보여줍니다. 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

AD/DB x BF/FC x CE/EA = 1

증명:

우선, P를 이용하여 삼각형 ABD 부터 시작해보겠습니다. 삼각형 ABD에서 AD와 BD를 사용할 것입니다. 선분 CF와 AD는 삼각형 ABD의 내부로 연장되며, CD와 AB는 외부로 연장됩니다. 그리고, AP와 BP가 다시 CF와 AD를 교차합니다. 삼각형 ABD를 표시하기 위해, 각 정점에서 P에 그은 수선을 사용합니다.

다음은, 삼각형 BEC에서 BE와 EC를 사용할 것입니다. 마찬가지로, 선분 AD와 BE는 삼각형 BEC의 내부로 연장되며, AE와 CD는 외부로 연장됩니다. 그리고, BP와 CP는 다시 AD와 BE를 교차합니다. 삼각형 BEC 또한 각 정점에서 P에 그은 수선을 사용합니다.

마지막으로, 삼각형 CFA에서 CF와 FA를 사용할 것입니다. 선분 BE와 CF는 삼각형 CFA의 내부로 연장되며, BF와 AE는 외부로 연장됩니다. 그리고, CP와 AP는 다시 BE와 CF를 교차합니다. 삼각형 CFA 또한 각 정점에서 P에 그은 수선을 사용합니다.

이제 선분 AD/DB, BF/FC, CE/EA에 대해 생각해보면 다음과 같습니다.

AD/DB = [삼각형 ABD에서 AP/DP] / [삼각형 ABP에서 PB/BX]

BF/FC = [삼각형 BEC에서 BP/PE] / [삼각형 ABC에서 FC/CX]

CE/EA = [삼각형 CFA에서 CP/PA] / [삼각형 ABC에서 EA/AX]

이것을 다시 다시 전개되어 결합하면, 다음과 같습니다.

[AP/DP x BP/PE x CF/FC] x [AD/EA x BX/CX x CP/PA] x [EA/AB x FC/BC x BC/DE] = 1

이 식에서, BX/CX = [AB/BC x BF/FC x CE/EA] 입니다. 그리고, 아이들 것과 같이 각 삼각형에서 AP/DP x BP/PE x CP/PA = 1 이 성립합니다. 따라서, 이를 더해보면 다음과 같습니다.

[BF/FC x CE/EA x AD/DB] = 1

따라서, 이를 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

AD/DB x BF/FC x CE/EA = 1

즉, 세 선분의 비와 세 개의 내부 선분의 비가 같음을 증명하는 것이 가능합니다.

FAQ

Q: 메넬라우스 정리는 실생활에서 어떻게 적용될 수 있을까요?

A: 메넬라우스 정리는 여러 가지 기하학 문제들을 해결하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 삼각형 안에서 세 선분이 서로 만날 때 그림에서의 값을 계산해야 할 경우 이 정리를 사용할 수 있습니다. 또한, 피타고라스의 정리와 연관되어 있기 때문에 이와 관련된 문제들에도 사용될 수 있습니다.

Q: 메넬라우스 정리를 증명하는 복잡성은 어느 정도일까요?

A: 메넬라우스 정리의 증명은 이해하기 쉽지 않을 수 있습니다. 삼각형의 내부와 외부를 살펴보고, 교차하는 선분들을 통해 수식을 유도하는 과정이 필요하기 때문입니다. 하지만, 선분들 간의 비율을 이용한 유사삼각형 위주의 증명 과정으로, 기하학적 직관력과 명료한 수식적 표현력이 함께 필요합니다.

할선정리 (賀擅整理, KonMari Method)는 일본 저명한 정리 전문가 마리 콘도(Marie Kondo)가 개발한 정리 방법으로, 주변 환경과 내면 감정의 변화를 가져다준다는 이론이 부각되며 인기를 끌고 있다. 이 방법은 집안 물건을 다음과 같은 순서로 분류하고 정리한다.

1. 옷
2. 책
3. 서류
4. 기타 잡동사니
5. 감정적 가치가 있는 물건

1단계: 옷
옷장을 비우고, 옷 1개씩 꺼내어 ‘포기할까’, ‘남겨둘까’ 물어보며 결정한다. 남겨두기로 결정한 옷은 분류해 수납한다. 옷장도 마찬가지로 ‘포기할까’, ‘남겨둘까’ 물어보며 정리한다.

2단계: 책
같은 방식으로 책장에서 책을 꺼내어 ‘포기할까’, ‘남겨둘까’ 결정 후 분류하고 책장을 정리한다.

3단계: 서류
서류를 한 데 모아서 분류해두는 기본 원칙에 따라서, 분류를 먼저 해야 한다. 예를 들어, 의료보험 증서, 주민등록증, 장기 보유 중인 유선계약서, 월세 계약서, 월세 영수증 등 대표적인 서류들을 각각의 분류 기준에 따라 나눠두고, 가져갈 물건과 버릴 것으로 분류해두었다. 자료를 가지고 있는 우리 나라)

4단계: 기타 잡동사니
활용 빈도가 낮거나 쓸모없는 잡동사니들을 가져온다. 청소기나 물걸레 청소 장비 등과 함께 잘 사용하지 않는 ‘카벙클’, ‘소장본 등의 책’을 가져온다. 각각 분류와 분석을 해, 결정 후 처리한다.

5단계: 감정적 가치가 있는 물건
저울로 측정할 수 없는 물건, 모든 물건들 중에서 가장 강한 감정이 담긴 물건들이다. 자신의 지금까지 이루어 놓았던 것, 자신의 지금, 그리고 자신의 미래까지를 모두 이어주는 연재 이다. 이 물건들은 전통적인 정리방법으로는 처리하기 어려운 것들이기 때문이다. 이 대목의 가장 중요한 것은 마리 콘도가 “감정적으로 중요한 가치가 있는 물건들은 손에 쥐고 자기 마음으로 해체해 나가라”라는 조언이다.

할선정리는 단순한 물건을 분류하고 정리하는 것에 그치지 않고, 마음 속에 항상 챙길 수 있는 가치를 지니고 있다. 여전히 필요한 물건들은 정해진 장소에 수납하여 깔끔하게 보관하면서, 태그나 라벨링을 해, 필요할 때 찾기 쉽게 만든다. 예를 들어, 오래된 지도는 언제든 썰물이 진행될 때 적극 활용할 수 있다.

할선정리가 갖는 가치는, 기존의 일반적인 정리 방법보다 깨끗해보이는 공간을 만드는 것뿐만 아니라, 정리하면서 집안에 있는 물건 각각에 부여된 뜻을 이해하는 것이란 점에서 고려해볼만하다. 또한, 정리하면서 집안에 불필요한 물건들을 처리함으로써, 집안을 더욱 경제적으로 활용하고, 자신이 가지고 있는 물건들이 어떤 가치를 지니는지 파악할 수 있는 한획을 그으면서, 인테리어나 리모델링에 대한 결정을 내리기에도 도움을 준다.

FAQ

1. 할선정리는 어떤 방식으로 사용되나요?
할선정리는 일련의 단계별로 물건을 분류하고 폐기하거나 정리하는 방법입니다. 옷, 책, 서류, 기타 잡동사니, 감정적 가치가 있는 물건 순으로 분류하며, 물건의 감정적인 가치도 중요한 항목으로 간주됩니다.

2. 할선정리를 사용하려면 어떤 도구들이 필요한가요?
할선정리에서 가장 중요한 도구는 ‘가능한 작은 바구니 또는 체질'(미술리뷰스에는 구닛이라고도 함)입니다. 이 도구는 각 분류별로 분류한 물건을 저장하고 보관하는 데 사용됩니다.

3. 할선정리는 어떤 상황에서 가장 좋은 방법일까요?
할선정리는 집안에 있는 물건들을 정리하고 싶을 때와 환경을 개선하여 내면 변화를 가져오고 싶을 때 사용됩니다. 예를 들어, 이사를 준비하거나 집안의 정리가 필요한 상황에 사용될 수 있습니다.

4. 할선정리는 어떤 장점이 있나요?
할선정리는 순수하게 집안을 깨끗하게 만들어 주는 역할뿐만 아니라, 집안에 있는 물건들을 분류할 때 감정적인 가치를 고려하는 방법입니다. 이를 통해 집안 물건들이 어떤 의미를 가지고 있는지 파악할 수 있으며, 마음 속에 항상 챙길 수 있는 가치를 지니고 있습니다.
또한, 특히 미처 감지하지 못했던 장소와 물건들을 발견하고 처리하는 것이 가능하며, 깨끗한 공간을 만들어 새로운 시작을 할 수 있는 기회가 주어집니다.